MATEMATIKA TOPOLOGI BAB 1

HIMPUNAN

1.1         Himpunan

Himpunan atau set adalah kumpulan dari objek-objek yang didefinisikan dengan jelas, objek-objek yang menyusun himpunan disebut sebagai anggota atau elemen atau unsur dari himpunan. Himpunan dinotasikan dengan huruf  besar seperti A, B, C,….. Sedangkan anggota himpunan dengan huruf kecil a,b,c,….. Pernyataan “a adalah anggota dari himpunan A” ditulis a Î A , sedangkan pernyataan “b bukan anggota A” ditulis b Ï A.

Ada beberapa cara menuliskan himpunan yaitu:

1.      Himpunan dinyatakan dengan menulis atau mendaftar anggota-anggotanya dalam tanda kurung kurawal, misalnya

A = {a,b,c,d},

Himpunan bilangan asli  = {1,2,3,…..}

Himpunan bilangan bulat  = {…..,-2,-1,0,1,2,…..}

Himpunan bilangan riil

2.      Menyebutkan  atau mendefinisikan persyaratan keanggotaan himpunan.

Jika P(x) merupakan pernyataan yang menentukan syarat keanggotaan , maka ditulis sebagai

                                                  (1.1)

Misalnya

Himpunan bilangan rasional  =

Himpunan bilangan genap

Himpunan bilangan ganjil

B =

3.         Menggambar titik-titik sebagai anggota-anggota himpunan dalam diagram yang berbentuk kurva tertutup sederhana.  Diagram tersebut dinamakan yang Diagram Venn.

                                       A = {a,b,c,d}

                    Gambar 1.1 : Diagram Venn himpunan

Jika dalam himpunan ada angota yang sama maka anggota yang demikian hanya menggambarkan satu anggota saja.

Contoh 1.1:

A = {a,b,c,b,d,e}=  himpunan A tersebut hanya mempunyai lima anggota saja, yaitu a,b,c,d, dan e.

Banyaknya anggota suatu himpunan A dapat ditulis dengan simbol n(A) atau #(A), sehingga pada contoh 1.1 tersebut n(A) = 5.

1.2         Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian atau subset dari B jika dan hanya jika setiap anggota A juga merupakan anggota B. Himpunan bagian dilambangkan dengan notasi , sehingga pernyataan “A himpunan bagian dari B” ditulis A  B.  Secara singkat ditulis

                                      (1.2)

Simbol “ ” menyatakan biimplikasi yang dibaca “jika dan hanya jika“. Pernyataan  dapat ditulis  dibaca B memuat A atau dikatakan B superset A.

Contoh 1.2:

1.      Diketahui N = {1,2,3,.....}, G = {1,3,5,.....}, dan P = {2,3,5,7,....}, maka    dan .

2.      Dapat kita tunjukkan hubungan antara , dan  berturut-turut himpunan bilangan asli, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan riil, dan himpunan bilangan komplek, bahwa

Dalam Diagram Venn  digambarkan bahwa A berada dalam B, sebagai berikut:

     Gambar 1.2: Diagram Venn

 dapat juga dinyatakan dalam diagram garis

1.3         Kesamaan himpunan

Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika kedua himpunan mempunyai anggota yang sama, dengan kata lain setiap anggota A juga merupakan anggota B, demikian juga setiap anggota B juga merupakan anggota A. Berdasarkan pada pengertian himpunan bagian di atas diperoleh bahwa dua himpunan A dan B sama jika dan hanya jika memenuhi A  B dan B  A.

Secara formal dapat didefinisikan

Definisi 1.1

 jika dan hanya jika  dan , atau

 A  B dan B  A

Dalam hal A  B, tetapi A ¹ B dikatakan A himpunan bagian murni atau proper subset  B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian murni dari B, ditulis , jika ada paling sedikit satu anggota B yang tidak masuk dalam A, yaitu  demikian sehingga .

Contoh 1.3:

Jika  dan B = {1,4}, maka A = B.

Dua himpunan A dan B dikatakan dapat dibandingkan atau comparable jika memenuhi salah satu A  B atau B  A. Misalnya himpunan bilangan genap dan himpunan bilangan asli merupakan dua himpunan yang dapat dibandingkan tetapi himpunan bilangan genap dengan himpunan bilangan prima tidak bisa dibandingkan.

Teorema 1.1:

Jika A,B, dan C sebarang himpunan maka :

(i) 

(ii)  Jika    dan    maka 

(iii) Jika  dan  maka

1.4         Himpunan Kosong dan Semesta.

Himpunan kosong atau disebut void set atau null set dinotasikan dengan  Ø atau { } adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, atau dengan kata lain himpunan yang mempunyai 0 elemen,  dalam arti jika persyaratan keanggotaan himpunan dikenakan maka tidak ada objek yang memenuhinya.

Contoh 1.4:

Misalnya  adalah himpunan kosong karena tidak ada bilangan riil yang dikuadratkan hasilnya negatif, dan n(Ø) = 0

Proposisi 1.1:

 merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan termasuk himpunan kosong itu sendiri.

Proposisi ini bisa kita buktikan secara tidak langsung. Misalkan Ø  A dimana A sebarang himpunan, tentunya harus ada anggota Ø yang bukan anggota A. Padahal Ø tidak memiliki anggota, berarti pernyataan tersebut adalah salah, yang benar bahwa Ø  A.

Himpunan semesta atau universe ditulis dengan notasi S adalah himpunan yang memuat seluruh anggota himpunan yang dibicarakan. Sebagai contoh jika kita sedang membicarakan  himpunan bilangan asli,  himpunan bilangan bulat,  himpunan bilangan rasional, maka semestanya adalah himpunan bilangan riil .

Himpunan berhingga atau finite kita definisikan sebagai himpunan kosong atau himpunan yang banyak anggotanya tertentu, dengan kata lain himpunan yang mempunyai n anggota, dengan n bilangan asli. Selain itu dinamakan himpunan tak berhingga atau infinite. Sedangkan suatu himpunan dikatakan mempunyai n anggota jika kita dapat mengkorespondensikan (memasangkan satu-satu) setiap anggotanya dengan

Contoh 1.5:

n(A) = 5, karena dapat dikorespondesikan dengan  , misalnya

                                         A             

a b c d e

1 2 3 4 5

 

           

Gambar 1.3: Korespondesnsi antara himpunan A dengan

Jika suatu himpunan hanya mempunyai satu anggota saja disebut himpunan singelton.

Contoh 1.5:

1.      A = {a,b,c,d},  dan C = {1,2,3,.....100} merupakan himpunan berhingga.

2.       = {1,2,3,.....},  dan  = {.....,-2,-1,0,1,2,.....} merupakan contoh himpunan tak berhingga.

3.      merupakan singelton karena C hanya mempunyai satu anggota, yaitu bilangan 2 saja.