MATEMATIKA ANALISIS RIIL TEORI 3-5

Teorema III:

Misalkan a, b Î R sembarang. Maka

(a)    Persamaan a + x = b mempunyai penyelesaian

tunggal x = (-a) + b.

(b) Jika a ¹ 0, persamaan a.x = b

mempunyai penyelesaian tunggal x = 1/a.b.

Bukti:Bagian (a)

Misalkan x = (-a) + b adalah penyelesaian dari a + x = b, maka

      a + x = a + ((-a) + b)                    (x = (-a) + b)

        = (a + (-a)) + b            (A2)           

        = 0 + b            (A4)

        = b                                   (A3)

hal ini munjukkan bahwa x = (-a) + b merupakan penyelesaian dari a + x = b.

Bukti: (lanjutan Bagian (a))

Kemudian akan ditunjukkan ketunggalan-nya, misalkan ada pemecahan lain x₁ merupakan penyelesaian dari a + x = b, yaitu:  a + x₁ = b, maka diperoleh

        x₁ = x ₁ + 0                          (A3)

      = x₁  + (a + (-a))                  (A4)

      = (x₁ + a) + (-a)                  (A2)

      = (a + x₁) + (-a)                  (A1)

      = b + (-a)                              (a + x₁ = b)

      = (-a) + b                              (A1)

Karena x₁ = (-a) + b, hal ini menunjukkan bahwa x dan x₁ adalah tunggal.

Bukti: Bagian (b)

Misalkan x = 1/a. b adalah penyele-saian dari a.x = b, maka

      a.x = a.(1/a.b)    (x =1/a.b)

            = (a.1/a).b     (M2)

            = 1. b                               (M4)

            = b                    (M3)

hal ini munjukkan bahwa x =1/a.b merupakan penyelesaian dari  a.x = b.

Bukti: (Lanjutan Bagian (b))

Kemudian akan ditunjukkan ketung-galannya, misalkan ada pemecahan lain x₂, yaitu a.x₂ = b, maka dipero-leh

      x₂ = x₂.1                                (M3)

          = x₂.(a.1/a)     (M4)

          = (x₂.a).1/a     (M2)

          = (a.x₂).1/a     (M1)

          = b.1/a                             (a.x₁ = b)

          = 1/a.b                              (M1)

Karena x₂ = 1/a.b, hal ini menunjuk-kan x dan x₂ adalah tunggal.

Teorema IV: (Penggunaan Sifat Distributif) 

Misalkan a Î R sembarang, maka

      (a)          a.0 = 0

      (b)          (-1). a = -a

      (c)           -(-1) = 1

      (d)          (-1).(-1) = 1

Bukti: Bagian (a)

Dari sifat (M3), yakni a.1 = a. Maka diperoleh

      a + a.0 = a.1 + a.0                              (M3)

      a + a.0 = a.(1 + 0)                              (D1)

      a + a.0 = a.1                                        (A3)

      a + a.0 = a                                            (M3)

      a.0 = (-a) + a                       (teorema ?)

                            = 0                                    (A4)

Bukti: Bagian (b)

a + (-1)a = 1.a + (-1)a                             (M3)

    a + (-1)a = (1 + (-1))a                         (D2)

    a + (-1)a = 0.a                                       (A4)

    a + (-1)a = 0                           (teorema ?)

    (-1)a = (-a) + 0                      (teorema ?)

    (-1)a = -a                                                                (A3)

Bukti: Bagian (c)

Dari sifat (A4), yakni (-a) + a = 0. Maka diperoleh

-(-a) + 0 = -(-a) + ((-a) + a)                  (A4)

-(-a) = (-(-a) + (-a)) + a                         (A3, A2)

-(-a) = 0 + a                                               (A4)

-(-a) = a                                                      (A3)

Bukti: Bagian (d)

      (-1).a = -a                            (teorema ?)

       (-1).(-1) = -(-1)                  (ambil a = -1)

                = 1                                (teorema?)

Teorema V:

Hasil Penting dari Sifat Aljabar)

Misalkan a, b, c Î R sembarang.

(a) jika a ¹ 0 maka 1/a ¹ 0 dan 1/(1/a) = a.

(b) jika a.b = a.c, a ¹ 0 maka b = c.

(c) jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0.

Bukti: Bagian (a)

Dari sifat (M4), jika diberikan a ¹ 0 maka terdapat  1/a di R. Andaikan 1/a = 0, dari teorema ? diperoleh a.1/a = 0. Dilain pihak dari sifat (M4) ini juga a.1/a = 1,  ini mengakibatkan bahwa 0 = 1, hal ini kontradiksi dengan (M3), yaitu 1 ¹ 0.

Karenanya pengandaian 1/a = 0 salah.

Jadi haruslah 1/a ¹ 0.

Dan karena 1/a ¹ 0, serta 1/a.a = 1, maka menurut teorema ?, a = 1/(1/a). (terbukti)

Bukti: Bagian (b)

Jika a.b = a.c, dari teorema ?, maka b = 1/a.(a.c). Akibatnya

      b = (1/a.a).c                        (M2)

      b = 1.c                                   (M4)

      b = c                                                       (M3)

    (terbukti)

Bukti: Bagian (c)

Jika a ¹ 0 dan a.b = 0, maka diperoleh a.b = 0

                            = a.0                (teorema ?)

Jadi a.b = a.0.

karena a ¹ 0 dan a.b = a.0, maka

         b = 0                   (teorema ?)

Dengan cara yang sama, jika b ¹ 0 dan a.b = 0 maka diperoleh

      a.b = 0

          = 0.b                  (teorema ?)

karena b ¹ 0  dan a.b = 0.0, maka

      a = 0                       (teorema ?)

Jadi dapat disimpulkan, jika a.b = 0 maka

      a = 0 atau b = 0. (terbukti)

Teorema:

Tidak terdapat sebuah bilangan rasional r sedemikian hingga r² = 2.

Bukti:

(Dengan kontradiksi), andaikan tidak demikian, berarti terdapat r di Q sedemikian hingga r² = 2. r di Q sehingga dapat ditulis dalam bentuk  p/q dimana p, q di Z dan q ¹ 0, serta asumsikan p dan q tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1. (jika p dan q mempunyai faktor persekutuan selain 1 berarti p dan q dapat dibagi dengan faktor sekutu tersebut tanpa mengubah nilai p/q). Akibatnya diperoleh

                      2 = r²

                        = (p/q)²

                       = p²/q²                         atau

                p² = 2 q²

karena p² = 2 q²  maka p² genap. Akibatnya p juga genap (karena jika p ganjil, misalkan   p = 2n + 1, nÎZ maka p² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 ganjil). karena  diasumsikan tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1 dan p genap maka haruslah q ganjil. Misalkan     p = 2n, nÎZ maka       2q² = 4n². Sehingga q² = 2n² genap, akibatnya q genap, hal ini terjadi pertentangan dengan q ganjil. Jadi pengandaian r adalah bilangan rasional haruslah dingkari, yaitu tidak terdapat r di Q sedemikian r² = 2.