aljabar ELEMEN KOMPOSIT DAN PRIMA

ELEMEN KOMPOSIT DAN PRIMA

Misal (D,  , ●) adalah ID

a D, a  I

Unit dari D?                Pembagi

Asosiasi dari a?           dari a

b = integer (bilangan bulat)

b a

Jadi b | a (pembagi tidak sejati)

Elemen komposit adalah punya pembagi sejati

Contoh :8                       1

                           2

   4

   8

Keterangan: 1 adalah interval 2 dan 4 adalah pembagi sejati 8 adalahpembagitidaksejati.

Maka 8 dikatakan elemen komposit karena punya pembagi sejati yaitu 2 dan 4.

Eleman Prima adalah tidak punya pembagi sejati

Contoh: 7                    1

                        7

Keterangan: 1 adalah interval, 7 adalah pembagi tidak sejati.

Maka 7 dikatakan elemen prima karena tidak punya pembagi sejati.

a prima

dimana ,  adalah satu dan unit

Elemen Co-Prima

(a,b)= I (Elemen Identitas di D)

1.                  Bilangan bukan  Gussian

5 adalah komposit (bukan prima)

Karena: 5 memiliki pembagi 1 dan 5 serta (1+2i) dan (1-2i)

Jadipembagisejati 5 adalah (1+2i) dan (1-2i)

(1+I) adalah prima jika

(1-I)=(a+Ib)(c+Id)à(1-I)=(a-Ib)(c-Id)

à(1-I) =  (a-Ib)(c-Id)

è 2= (a²+b²) (c²+d²)

è Begitujuga  (a²+b²) =2 atau   (a²+b²) =1

Sekarang dalam kasus  (a²+b²) =2 memberikan (c²+d²) =1dan oleh karena itu (c+Id)(c-Id)=1

Yang mana artinya bahwa (c+Id) adalah unit

Demikian (1+I)=(a+Ib)(c+Id)

àDemikian juga (a+Ib) atau (c+d) adalah unit

Karenanya (1+I) adalah prima

2.      Di domain I  semua bilangan bulat positif, semua bilangan bulat prima adalah elemen prima pada I dua-duanya bukan nol bilangan bulat adalah komposit

DAERAH FAKTORISASI TUNGGAL

(D,  , ●) (Daerah Faktorisasi Tunggal)

 

a, b  Z a x b =0à a=0 V b=0

(z, +, x)apakah ID?

Iya, (z, +, x) adalah ID

2 = 0; 2 D

Apakah 2 unit? (tidak)

Unit :1 dan -1

5 = 5 x 1

6 = 3 x 2

8 = 2 .2 . 2

18 = 2 . 3 .3

Teorema I : ( D,   , •) adalah ID

Daerah Faktorisasi Tunggal

a, b  D, a ≠ I, b ≠ I

p D, p = elemen prima

p / a • b           p / a atau

                       p / b

p / a • b         

p / a               

Bukti : a = p₁• p₂ •…•p_r

            b = q₁• q₂ •…•q_s

p, q adalah elemen prima

a = p_i ; i = 1, 2, … , r

b = q_i ; i = 1, 2, … , s

a • b = p₁• p₂ • … • p_r • q₁ • q₂ • … • q_s

p₁ / a • b  p₁ / p₁ • p₂ • … • p_r          p / a

p₂ / a • b  p₂ / p1• p₂ •…•p_r             p / a

     

p_r / a • b   p₂ / p1• p₂ •…•p_r            p / a

TeoremaII :( D,   , •) adalah ID

                       PID (integral domain)

D = < p >      Daerah Faktorisasi Tunggal

Bisa prima ataubukan prima

bukti a  D

            a = p^k = p • p • … • p

                                    k

            a ≠ I ; a adalah elemen prima