persamaan differensial parsial

PAPER

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

(FOKKER-PLANCK EQUATION)

 

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN)

MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2012

PERSAMAAN FOKKER-PLANCK

Brownion Motion Persamaan Fokker-Planck

 (Kolmogorof Maju)

Asumsi proses Fokker-Planck

1.     

2.     

3.      Distribusi probabilitas partikel saat  didefinisikan

Deret Taylor                       

Substitusikan deret taylor pada persamaan (1), sehingga

untuk 

asumsikan 

1.     

2.     

untuk  maka

Sehingga,

                             

Misalkan

Maka persamaan (2) menjadi:

 

BAB I

PDP ORDE SATU DENGAN NILAI AWAL UNTUK PERSAMAAN FOKKER-PLANCK

        Solusi PDP Orde Satu Linier

Untuk PDP orde satu, maka diasumsikan , sehingga

                                                  

Selesaikan persamaan (1)

Step 1 (cek kurva karakteristik)

Step 2 (integralkan)

                           

                                              

Step 3 (asumsikan Laminer)

Step 4 (gabungkan step 2 dan 3)

dengan nilai awal

maka solusi umumnya adalah

Simulasi jika , maka

Sehingga

        PDP Orde Satu Quoasi Linier

karena Quoasi, maka disumsikan , sehingga persamaan tersebut menjadi:

Misalkan , maka

initial value = , maka

Step 1 (cek kurva karakteristik)

Hasil integral (*)

                   

                                                  

Step 2 (lihat nilai awal ) (**)

 Gabung (*) dan (**)

 maka

Solusi umum untuk masalah nilai awal

artinya

Step 3 (waktu patah)

karena

Maka jika  diskontinu atau break di

Gambar 2

Gerakan Gelombang

        Solusi PDP Orde Satu Non Linier

Diasumsikan ,sehingga persamaan tersbut menjadi

Konstruksi Persamaan Monge Cone

pandang persamaan (1), misalkan

Maka,

Ingat bahwa

maka

, sehingga

Jadi, 

Sehingga persamaan monge cone adalah

Solusi Nilai Awal PDP Orde Satu Non Linier

 Diberikan PDP dan nilai awal

Step 1: 

Step 2 (cek kurva karakteristik)

Step 3 (solusi umum melalui titik awal)

maka bersama dengan nilai awal

Chapter III

Second Order PDE and Classification

1.    Bentuk Kanonik

Dari persamaan Fokker-Planck diatas dapat diketahui bahwa tidak ada  sehingga , maka persamaan tersebut tidak mempunyai bentuk kanonik karena diskriminannya adalah nol, yaitu

2.    Metode Pemisahan Variabel

Nilai awal :

Nilai batas :

Pilih  maka

Masalah : Bagaimana solusi masalah nilai batas?

, misalkan  maka

 dan misalkan  dimana  adalah solusi.

Step 1 : Substitusi permisalan diatas

Akibatnya

Dengan pemisahan variabel, maka diperoleh:

Misal :

Step 2 : Solusi untuk

Dengan menggunakan rumus abc maka diperoleh:

Kasus 1 : jika

artinya akar-akarnya real dan berbeda, maka solusi umumnya adalah

Subtitusi nilai batas

artinya:

Kesimpulan :

Tidak ada solusi karena

Kasus 2 : jika

Artinya akar-akarnya real dan berbeda, maka solusi umumnya adalah

Subtitusi nilai batas

Artinya:

Kesimpulan:

Tidak ada solusi karena

Kasus 3 : jika

Artinya akar-akarnya komplek dan berbeda, maka solusi umumnya adalah

Subtitusi nilai batas

Artinya,

Jika

Jadi solusi umum untuk adalah

Catatan:

: konstanta tak nol

                  : batas kiri sistem sepanjang  sumbu x

                   : konstanta

kesimpulan solusi umum di X

Step 3 : solusi untuk

Solusi

Sehingga