pemodelan matematika

Sumber :

Jurnal Matematika Vol. 11, No.3, Desember 2008: 115-120, ISSN: 1410:8518

Yang Karang Oleh :

Sulanjari dan Sutimin

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro

Jln. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang

Dan Dapat Diakses di Website Berikut Ini :

http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=model%20dinamik%20pertumbuhan%20biomassa%20udang%20windu%20%20dengan%20faktor%20mortalitas%20bergantung%20waktu%20%20filetype%3Adoc&source=web&cd=1&ved=0CB8QFjAA&url=http%3A%2F%2Feprints.undip.ac.id%2F1954%2F1%2F3._Sulanjari_%2526_Sutimin.doc&ei=JR9iT-_BE8mqrAfU0eDhBw&usg=AFQjCNHaM-7IgCM2DW9AskNWhrhQySHE3g&cad=rja

Pemodelan

n  Pemodelan merupakan suatu upaya untuk melakukan analisis sistem pendukung keputusan (SPK) dengan cara meniru bentuk nyata-nya dari pada melakukannya pada sistem nyata.

 Definisi Model

n  Model dapat diartikan sebagai penggambaran, penyederhanaan, miniatur, atau peniruan.

n  Pemodelan lingkungan adalah penggambaran proses lingkungan beserta hubungan antar komponen/variabel pembentuknya menggunakan representasi logika dan matematika.

n  Pemodelan merupakan salah satu cabang dari analisis ilmiah. Kegiatan pemodelan meliputi: pembuatan konsep, pengorganisasian, komunikasi, pemahaman, analisis, ujicoba pengukuran lapangan, ramalan, prediksi, peringatan dini (early warning), dan optimasi pengambilan keputusan.

n  Pemodelan dapat dipergunakan untuk membantu menjelaskan fenomena fisik, kimia, dan biologi yang mungkin terjadi dalam proses tersebut.

n  Model merupakan perumusan matematika dari proses-proses fisika/kimia/biologi suatu fenomena alam, sehingga jika dimasukkan data-data penunjang, kemudian dihitung dengan metode perhitungan tertentu, akan dapat dihasilkan gambaran proses secara keseluruhan.

n  Kelebihan model adalah model dapat digunakan sebagai sarana simulasi, sehingga dengan model kita dapat memperkirakan, memprediksi dan mempelajari berbagai kemungkinan yang dapat terjadi jika berbagai skenario diaplikasikan dalam model tersebut.

Alasan Penggunaan Model

n  Manipulasi model (seperti mengubah variabel) akan lebih mudah dilakukan daripada melakukannya pada sistem nyata.

n  Model dapat menghemat waktu.

n  Biaya untuk menganalisis model jauh lebih murah jika dibandingkan dengan mengaplikasikannya pada sistem nyata.

n  Resiko kesalahan pada bentuk model dengan melakukan trial & error (coba-coba) jauh lebih rendah jika dibandingkan dengan melakukannya pada sistem nyata.

n  Lingkungan bisnis yang banyak mengandung ketidakpastian.

n  Model matematika dapat menganalisis kemungkinan solusi dalam jumlah yang lebih banyak bahkan tidak terbatas.

n  Model meningkatkan pembelajaran & pelatihan.

n  Model-model dan metode-metode untuk mendapatkan solusi telah tersedia di web.

n  Ada beberapa Java applet (atau pemrograman web lainnya) yang tersedia untuk menyelesaikan model-model tersebut.

1.      Pendahuluan

Indonesia merupakan Negara yang kaya akan sumber daya alam hayati baik yang berasal dari darat maupun perairan. Daerah perairan Indonesia yang cukup luas, merupakan wilayah pantai yang cukup subur dan dapat dimanfaatkan bagi kepentingan perikanan. Upaya meningkatkan produksi perikanan dapat ditempuh melalui budidaya, baik di darat maupun di laut. Budidaya udang dan rumput laut merupakan salah satu jenis budidaya dibidang perikanan yang mempunyai peluang untuk dikembangkan di wilayah perairan Indonesia.

Udang merupakan jenis ikan konsumsi air payau, badan beruas berjumlah 13 (5 ruas kepala dan 8 ruas dada) dan seluruh tubuh ditutupi oleh kerangka luar yang disebut eksosketelon. Umumnya udang yang terdapat di pasaran sebagian besar terdiri dari udang laut. Hanya sebagian kecil saja yang terdiri dari udang air tawar, terutama di daerah sekitar sungai besar dan rawa dekat pantai. Udang air tawar pada umumnya termasuk dalam keluarga Palaemonidae, sehingga para ahli sering menyebutnya sebagai kelompok udang palaemonid. Udang laut, terutama dari keluarga Penaeidae, yang bisa disebut udang penaeid oleh para ahli. Udang merupakan salah satu bahan makanan sumber protein hewani yang bermutu tinggi. Bagi Indonesia udang merupakan primadona ekspor non migas. Permintaan konsumen dunia terhadap udang rata-rata naik 11,5% per tahun. Walaupun masih banyak kendala, namun hingga saat ini negara produsen udang yang menjadi pesaing baru ekspor udang Indonesia terus bermunculan.

Dewasa ini para petani tambak yang ingin mengembangkan usaha di bidang perikanan, salah satunya adalah budidaya tambak udang windu. Udang windu adalah udang yang ukuran badannya lebih besar dari pada udang biasa, dari jenis dan kualitas unggul; dengan nama latin penaeus monodon. Udang windu termasuk pada kelas nomina. Nama lain dari udang windu adalah udang pacet (bahasa indonesia / jawa) atau tiger prawn (bahasa inggris). Udang windu sudah sejak lama diminati oleh masyarakat. Bagi petambak, udang windu merupakan primadona budidaya sistem tambak yang relatif bandel, hal ini tidak lain karena sifatnya yang mempunyai ketahanan tinggi terhadap lingkungannya. Udang windu relatif tahan terhadap serangan penyakit dan memiliki daya adaptasi yang sangat tinggi. Dengan ketahanan yang tinggi tersebut pemeliharaan udang windu bisa mencapai ukuran besar, sehingga harganya bisa lumayan tinggi. Dengan demikian para petambak bisa meningkatkan pendapatannya yang secara tidak langsung juga meningkatkan taraf hidupnya. Bagi masyarakat udang merupakan sumber makanan yang berprotein tinggi, yang penting bagi kesehatan. Tidak heran kalau sekarang udang banyak dibudidayakan oleh masyarakat karena udang windu mempunyai nilai ekonomis yang tinggi dan digemari banyak orang (manfaat yang banyak).

Daerah penyebaran benih udang windu antara lain: Sulawesi Selatan (Jeneponto, Tamanroya, Nassara, Suppa), Jawa Tengah (Sluke, Lasem), dan Jawa Timur (Banyuwangi, Situbondo, Tuban, Bangkalan, dan Sumenep), Aceh, Nusa Tenggara Barat, Kalimantan Timur, dan lain-lain.

1.2  Manfaat Udang

a.    Udang merupakan bahan makanan yang mengandung protein tinggi, yaitu 21%, dan rendah kolesterol, karena kandungan lemaknya hanya 0,2%. Kandungan vitaminnya dalam 100 gram bahan adalah vitamin A 60 SI/100; dan vitamin B1 0,01 mg. Sedangkan kandungan mineral yang penting adalah zat kapur dan fosfor, masing-masing 136 mg dan 170 mg per 100 gram bahan.

b.    Udang dapat diolah dengan beberapa cara, seperti beku, kering, kaleng, terasi, krupuk, dll.

c.    Limbah pengolahan udang yang berupa jengger (daging di pangkal kepala) dapat dimanfaatkan untuk membuat pasta udang dan hidrolisat protein.

d.   Limbah yang berupa kepala dan kaki udang dapat dibuat tepung udang, sebagai sumber kolesterol bagi pakan udang budidaya.

e.    Limbah yang berupa kulit udang mengandung chitin 25% dan di negara maju sudah dapat dimanfaatkan dalam industri farmasi, kosmetik, bioteknologi, tekstil, kertas, pangan, dll.

f.     Chitosan yang terdapat dalam kepala udang dapat dimanfaatkan dalam industri kain, karena tahan api dan dapat menambah kekuatan zat pewarna dengan sifatnya yang tidak mudah larut dalam air.

1.3  Persyaratan Lokasi Tambak Udang

1. Lokasi yang cocok untuk tambak udang adalah pada daerah sepanjang pantai (beberapa meter dari permukaan air laut) dengan suhu rata-rata 26-28 derajat C.
2. Tanah yang ideal untuk tambak udang adalah yang bertekstur liat atau liat berpasir, karena dapat menahan air. Tanah dengan tekstur ini mudah dipadatkan dan tidak pecah-pecah.
3. Tekstur tanah dasar terdiri dari lumpur liat berdebu atau lumpur berpasir, dengan kandungan pasir tidak lebih dari 20%. Tanah tidak boleh porous (ngrokos).
4. Jenis perairan yang dikehendaki oleh udang adalah air payau atau air tawar tergantung jenis udang yang dipelihara. Daerah yang paling cocok untuk pertambakan adalah daerah pasang surut dengan fluktuasi pasang surut 2-3 meter.
5. Parameter fisik: suhu/temperatur=26-30 derajat C; kadar garam/salinitas=0-35 permil dan optimal=10-30 permil; kecerahan air=25-30 cm (diukur dengan secchi disk)
6. Parameter kimia: pH=7,5-8,5; DO=4-8 mg/liter; Amonia (NH3) netral.

Bertolak dari pemikiran tersebut, maka pembahasan dalam penelitian ini dititik beratkan pada model dinamik pertumbuhan  biomassa udang windu. Biomassa merupakan total massa dari suatu populasi. Dengan model tersebut akan dapat ditentukan pola pertumbuhan udang windu sehingga dapat membantu masyarakat dalam menentukan produksi biomassa yang maksimal dan menentukan kapan waktu panen yang tepat.

2.  Model Pertumbuhan Panjang

Model pertumbuhan panjang mengikuti model Von Bertalanffy. Model Von Bertalanffy merupakan model yang menggambarkan pertumbuhan ukuran tubuh individu. Model Von Bertalanffy merupakan model sederhana akan tetapi model ini sering memberikan kecocokan data empiris yang lebih baik ketika ketersediaan nutrisi konstan.

Dalam Model Von Bertalanffy ini dinotasikan L sebagai panjang dan diasumsikan bahwa bentuk tubuh tidak berubah selama pertumbuhan. Jika dinotasikan S sebagai permukaan tubuh yang proporsional / sebanding dengan L² dan V sebagai volume yang sebanding dengan L³. Pertumbuhan tubuh  sebagai akibat dari mengkonsumsi nutrisi yang sebanding dengan permukaan tubuh (S). Tubuh mengkonsumsi nutrisi untuk mempertahankan kelangsungan hidup dan untuk pertumbuhan. Jumlah nutrisi yang digunakan untuk mempertahankan kelangsungan hidup itu lebih besar jika dibandingkan yang digunakan untuk pertumbuhan. Besarnya nutrisi yang dikonsumsi untuk mempertahankan kelangsungan hidup itu sebanding dengan volume (V). Secara matematis model pertumbuhan tubuh tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut :

,                      (1)

dimana:                 : nutrisi yang dikonsumsi

                             : nutrisi yang diperlukan untuk mempertahankan kelangsungan hidup.

Cara membaca persamaan (1) :

            Laju perubahan volume ukuran tubuh udang windu tiap satuan waktu adalah bertambah dengan adanya nutrisi yang dikonsumsi sebesar 1 satuan dan berkurang dengan adanya nutrisi yang diperlukan untuk mempertahankan kelangsungan hidup.

Dan ingat bahwa persamaan (1) adalah bisa dijabarkan sebagaimana berikut ini :

=   =  = f′(t)

Persamaan (1) merupakan persamaan differensial, dengan mensubtitusikan nilai , , dan  ke persamaan (1) diperoleh :       

           

Jika diberikan syarat awal , maka diperoleh solusi khusus dari persamaan (1) yaitu:

            .              (2)

Dengan , kemudian diasumsikan sebagai koefisien pertumbuhan (k) maka jika disubtitusikan nilai-nilai tersebut ke persamaan (2) maka diperoleh solusi:

            ,           (3)

dimana

L(t)      : panjang pada waktu t,          

       : panjang pada t tak berhingga,

k          : koefisien pertumbuhan,        

t₀          : waktu pada saat L_0.

3.    Hubungan Panjang dengan MASSA

Massa dapat dianggap sebagai suatu fungsi dari panjang, sehingga model pertumbuhan massa berkaitan dengan model pertumbuhan panjang. Hubungan panjang dengan massa hampir mengikuti hukum kubik yaitu bahwa massa ikan sebagai pangkat tiga dari panjangnya. Hubungan antara panjang dan massa oleh [3] dinyatakan dalam bentuk:

,                                    (4)

dimana:

W(t)     : massa pada waktu t, 

L(t)      : panjang pada waktu t,

         : konstanta .

Model pertumbuhan massa pada saat t adalah

.              (5)

Jika diberikan syarat awal W(t₀) = 0, maka diperoleh solusi khusus dari persamaan (5) yaitu:

,      (6)

dengan  dan .

Sehingga persamaan (6) menjadi :

            (7)

4.    Model Pertumbuhan Populasi

Model pertumbuhan populasi mengikuti model pertumbuhan eksponensial yang sudah dikombinasikan dengan model mortalitas alami. Seperti yang sudah diketahui bahwa model pertumbuhan eksponensial adalah:

,                            (8)

dimana:

N(t)      : jumlah populasi pada waktu t,

r           : laju pertumbuhan intrinsik.

Cara membaca persamaan (8) :

            Laju pertumbuhan jumlah populasi pada waktu t adalah dipengaruhi oleh bertambahnya laju pertumbuhan logistik sebanyak jumlah populasi pada waktu t.

Di sini laju pertumbuhan hanya dipengaruhi oleh kematian alaminya saja sehingga diperoleh bentuk : 

,

dimana:

Z          : laju mortalitas total sesaat dan

M         : laju mortalitas alam.

Laju mortalitas alami (M) dipengaruhi oleh panjang (W), koefisien pertumbuhan (k), dan temperatur air (T). Sehingga nilai laju mortalitas alami  disini mengikuti model [3]. Formula laju mortalitas alami  tersebut adalah

   

dimana  adalah massa asimtotik (batas ambang massa ).

            Baverton dan Holt [4] menghubungkan antara parameter pertumbuhan dan angka mortalitas. Di sini diasumsikan bahwa angka mortalitas berkebalikan dengan ukurannya, sehingga model pertumbuhan populasinya menjadi

.                           (9)

Dengan menentukan nilai M mengikuti formula Pauly [3]. Jika diberikan syarat awal N(0) = 0, maka diperoleh solusi khusus dari persamaan (9) yaitu:

            ,    (10)

dimana:

N₀        : jumlah populasi awal,

A          : koefisien panjang dengan

              mortalitas,

k          : koefisien pertumbuhan,

       : batas ambang panjang.

5.   Model Pertumbuhan Biomassa

Biomassa merupakan total massa dari suatu populasi. Total biomassa dipengaruhi massa rata-rata individu dan jumlah populasinya. Sehingga pertumbuhan biomassa bergantung pada pertumbuhan massa dan pertumbuhan populasinya. Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa pertumbuhan massa mengikuti Model Von Bertalanffy dan pertumbuhan populasinya mengikuti model eksponensial yang telah dikombinasi dengan mortalitas sehingga dari model-model tersebut dapat diketahui model biomassanya. Karena total biomassa adalah massa rata-rata dikalikan dengan jumlah populasinya maka

,                   (11)

dimana:

B(t)      : total biomassa pada waktu t

W(t)     : massa rata-rata individu waktu t

Dari persamaan (6) dan (10), diperoleh total biomassa:

                     (12)

Pada waktu yang tidak terbatas biomassa mendekati nol maka kita harus dapat menentukan kapan waktu yang tepat biomassa tersebut mencapai total biomassa yang maksimal sehingga proses memanennya memberikan hasil yang optimal. Maka dari itu harus mengetahui laju pertumbuhan biomassa yang maksimum. Model pertumbuhan biomassanya adalah:

  .        (13)

Dimana :

            B(t)      : total biomassa pada waktu t

            W(t)     : massa rata-rata individu waktu t

            N(t)     : jumlah populasi pada waktu t

Cara membaca persamaan (13) :

            Laju pertumbuhan total biomassa tiap satuan waktu adalah dipengaruhi oleh bertambahnya laju massa rata-rata individu tiap satuan waktu dikalikan dengan jumlah populasi pada waktu t , dan dipengaruhi pula oleh bertambahnya laju jumlah populasi tiap satuan waktu dikalikan dengan massa rata-rata individu pada waktu t.

Untuk mengetahui bahwa biomassa mencapai maksimum, maka , sehingga diperoleh .   

Selanjutnya karena  dan , maka diperoleh

 .

Seperti diketahui , dengan demikian

.      (14)

Dengan menyelesaikan persamaan (14) maka diperoleh yaitu waktu biomassa mencapai maksimum sebagai berikut

            .

Dari analisis menjelaskan bahwa waktu yang diperlukan agar produkasi maksimal bergatung pada parameter-parameter .

6.  Model pertumbuhan berdasarkan Eksperimen

            Studi kasus berdasarkan penelitian pertumbuhan udang windu dan rumput laut yang dilakukan di Lab. Pengembangan Wilayah Pantai UNDIP (LPWP) di Jepara mulai bulan Juni sampai Oktober 2007. Udang windu dipelihara dalam akuarium berukuran 50cm x 60cm x 40cm. Udang windu yang dipelihara ada 3 perlakuan, perlakuan yang pertama yaitu udang yang dipelihara adalah 15 ekor, perlakuan yang kedua udang yang dipelihara 30 ekor dan perlakuan yang ketiga udang yang dipelihara 45 ekor. Selama pemeliharaan dilakukan pengukuran mengenai panjang dan berat udang windu. Pengukuran dilakukan setiap 2 mingguan. Sehingga dari penelitian tersebut diperoleh data panjang dan berat udang windu. Dari data panjang dan berat maka diperoleh parameter-parameter dari model pertumbuhan biomassa udang windu sebagai berikut.

Untuk udang windu 15 ekor.

Untuk memperoleh nilai  digunakan metode Walford dengan least square sebagai berikut.

Pertama kita harus mencari persamaan garis Walford dengan membuat regresi dari data  dan . Dari perhitungan dengan Maple diperoleh persamaan garis Walfordnya:

.

Ini menunjukkan bahwa intersepnya adalah 1,514 dengan sudut 0,889. Untuk mencari digunakan rumus:

.

Kemudian

k = – ln sudut Walford

   = –ln 0,889 = 0,117.

Untuk mencari maka dibuat log natural persamaan Von Bertalanffy yaitu

.

Ini merupakan persamaan garis lurus dari memplotkan  terhadap t dengan sudut –k dan intersepnya adalah . Dari perhitungan regresi dengan Maple diperoleh k = 0.117 dan intersepnya = 2.448.

Karena  sehingga diperoleh

   

    .

Untuk nilai  dan A dicari dengan menggunakan least square seperti pada, nilai = 40,345 dan A = -0,277. Selanjutnya diperoleh mortalitas alami:

              

atau sehingga   

Nilai M dari formula ini merupakan mortalitas tahunan, sedangkan dalam perhitungan data menggunakan data 2 mingguan maka mortalitas per 2 mingguannya adalah :

.

Untuk udang windu 30 ekor.

Perhitungan parameter udang windu 30 ekor analog dengan perhitungan parameter udang windu 15 ekor, yaitu:

              

A = -0.19                    

                M = 0.12

Untuk udang windu 45 ekor.

Perhitungan parameter udang windu 45 ekor analog dengan perhitungan parameter udang 15 ekor, yaitu:

              

A = -0.30                     

                M = 0.13

Hasil simulasi dengan menggunakan data empiris disajikan dalam dalam Gambar 4.

   

Gambar 4: Grafik Biomassa Udang Windu

      berdasarkan data empiris dan

      model                                      

Berdasarkan model pertumbuhan biomassa untuk udang windu 15 ekor,  bahwa biomassa mencapai maksimum pada t = 10,08 10 dengan biomassa total 87,34 gram. Artinya biomassa udang windu mencapai maksimum pada waktu 5 bulan dengan total biomassanya adalah 87,34 gram. Untuk udang windu 30 ekor, bahwa biomassa mencapai maksimum pada t = 13,5 dengan biomassa total  261,88 gram. Artinya biomassa udang windu mencapai maksimum pada waktu 6,5 bulanan dengan total biomassanya adalah 261,88 gram. Untuk udang windu 45 ekor, bahwa biomassa mencapai maksimum pada t = 12,8 13 dengan biomassa total = 409,59 gram. Artinya biomassa udang windu mencapai maksimum pada waktu 6,5 bulanan dengan total biomassanya adalah 409,59 gram.

Menurut Soetomo, udang windu itu dapat dipanen sekitar umur 4 – 6 bulan, dari perhitungan model diperoleh waktu panen untuk udang windu 15 ekor adalah 5 bulan, kemudian untuk udang windu 30 dan 45 ekor adalah sekitar 6,5 bulanan. Jika kita bandingkan waktu panen udang windu secara umum dan dengan perhitungan model maka waktu panennya mendekati dengan waktu panen.. Sehingga asumsi-asumsi yang diberikan dalam pemodelan dapat dibenarkan, oleh karena itu analisa pertumbuhan biomassa udang windu dapat dilakukan melalui analisa dari model pertumbuhan biomassa yang dipengaruhi oleh massa dan jumlah populasinya.

7. Validasi Model

            Untuk mengetahui seberapa besar tingkat kesalahan model terhadap data yang sebenarnya maka dilakukan validasi model dengan analisa sensitivitas dan analisa kesalahan. Hal ini dilakukan untuk menyelidiki seberapa besar tingkat kevalidan model terhadap data.  Analisa kesalahan yang digunakan disini yaitu menggunakan analisis kesalahan relatif .

8.    Penutup

Berdasarkan pembahasan tentang model dinamik pertumbuhan biomassa udang  windu dapat disimpulkan bahwa model pertumbuhan biomassa yang dipengaruhi model pertumbuhan massa yang mengikuti model Von Bertalanffy dan model pertumbuhan jumlah populasi yang mengikuti model eksponensial yang dikombinasikan dengan mortalitas relevan untuk digunakan. Dengan menggunakan model pertumbuhan biomassa yang dipengaruhi oleh massa dan jumlah populasinya tersebut akan dapat diketahui kapan waktu pemanenan yang tepat untuk udang windu dengan hasil panen yang optimal.

9. Daftar Pustaka

Ali Ismen (2002), A Preliminary on Population Dynamics Parameter of Whiting (Merlangius euxinus) in Turkish Sea Coastal Waters, Turk. J.Zool, 26 : 157 – 166      

Beverton, R.J.H. dan Holt S.J. (1956), A Review of Method for Estimating Mortality Rate in Fish Population, with Special Reference to Source Bias in Catch Sampling, Rapp, P.V. Reun. Cons. Int. Explor. Mer 140, 67 – 83.

Pauly D. David N. (1980), An Objective Methods for Determining Fish Growth from Length Frequency Data, ICLARM Newsletter 3 : 13 – 15.

Soetomo H. A, Moch. (1990), Teknik Budidaya Udang Windu. Sinar Baru, Bandung.

Syahid M, Subhan Ali, Armando Rochim (2006), Budidaya Udang Organik secara Polikultur, Penebar Swadaya, Jakarta.

LAMPIRAN

DAFTAR ISTILAH

1.    Mortalitas = Kematian. Mortalitas adalah ukuran jumlah kematian (umumnya, atau karena akibat yang spesifik) pada suatu populasi, skala besar suatu populasi, per individu dikali satuan. Mortalitas khusus mengekspresikan pada jumlah satuan kematian per 1000 individu per tahun, hingga, rata-rata mortalitas sebesar 9.5 berarti pada populasi 100.000 terdapat 950 kematian per tahun.

2.    Morbiditas = Banyaknya individu yang memiliki penyakit selama periode waktu tertentu.

3.    Udang Windu = Udang yang ukuran badannya lebih besar dari pada udang biasa, dari jenis dan kualitas unggul; termasuk kelas penaeus monodon.