matematika BILANGAN RIIL teorema 1 dan 2

Sifat-Sifat Aljabar pada R

Pada himpunan R dari bilangan-bilangan riil terdapat dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan . dimana masing-masing disebut penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi itu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

(A1) (sifat komutatif pad penjumlahan)

a + b = b + a, untuk setiap a, b di R

(A2) (sifat asosiatif pada  penjumlahan)

(a + b) + c = a + (b + c), untuk setiap a, b, c di R

(A3) (keberadaan/eksistensi sebuah elemen nol)

Terdapat sebauh elemen 0 di R sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a, untuk setiap a di R

(A4) (keberadaan/eksistensi elemen negatif)

Untuk setiap a di R terdapat sebuah elemen – a di R 

sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0

Sifat-Sifat Aljabar pada R

(M1) (sifat komutatif dari perkalian) a.b = b.a, untuk setiap a, b di R

(M2) (sifat asosiatif dari perkalian)

(a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a, b, c di R

(M3) (keberadaan/eksistensi sebauh elemen satuan)

Terdapat sebuah elemen 1 di R yang berbeda dengan 0

sedemikian hingga 1.a = a dan a.1 = a

(M4) (keberadaan/eksistensi elemen kebalikan pada perkalian)

untuk setiap a ¹ 0 di R terdapat sebuah elemen 1/a di R

 sedemikian hingga a. 1/a = 1 dan 1/a .a = 1

(D1) (sifat distributif kiri dari perkalian terhadap penjumlahan)

a.(b + c) = (a.b) + (a.c), untuk setiap a, b, c di R

(D2) (sifat distributif kanan dari perkalian  terhadap penjumlahan)

(b + c).a = (b.a) + (c.a), untuk setiap a, b, c di R

Teorema I:

(a)    Jika z, a Î R

sedemikian hingga z + a = a, maka z = 0.  

(b) Jika u, b Î R dan b ¹ 0

      sedemikian hingga jika u.b = b, maka u = 1.

Bukti: Bagian (a)

Dari sifat (A4), a + (-a) = 0. Jika kedua ruas dari hipotesa

      z + a = a

ditambah (-a) diperoleh:

      (z + a) + (-a) = a + (-a)

      (z + a) + (-a) = 0 (A4)

      z + (a + (-a)) = 0 (A2)

                      z + 0 = 0                                (A4)

z = 0                                       (A3)

Bukti: Bagian (b)

Dari sifat (M4), b.1/b = 1. Jika kedua ruas dari hipotesa

      u.b = b

dikali 1/b diperoleh:

      (u.b).1/b = b.1/b 

      (u.b).1/b = 1       (M4)

      u.(b. 1/b) = 1      (M2)

               u.1 = 1          (M4)

                  u = 1          (M3)

Teorema II:

(a)    Jika a, b Î R

sedemikian hingga a + b = 0, maka b = -a.

(b) Jika a, b Î R dan a ¹ 0

      sedemikian hingga a.b = 1 maka b = 1/a

Bukti:Bagian (a)

Dari sifat (A3) dan (A4), yakni b = b + 0

dan a + (-a) = 0, maka diperoleh:

      b = b + 0                               (A3)

      b = b + (a + (-a))                (A4)

      b = (b + a) + -a                   (A2)

      b = (a + b) + -a                   (A1)

      b = 0 + -a                              (hipotesa)

      b = -a                                     (A3)

Jadi terbukti: jika a + b = 0 Þ b = -a.

Bukti:Bagian (b)

Dari sifat (M3) dan (M4), yakni b = b.1 dan a.1/a = 1, maka diperoleh:

      b = b.1                                  (M3)

      b = b.(a.1/a)                       (M4)

      b = (b.a).1/a                       (M2)

      b = (a.b).1/a                       (M1)

      b = 1.1/a                              (hipotesa)

      b = 1/a                                  (M3)

Jadi terbukti: a.b = 1 Þ b = 1/a.